прямой, параллельны, лежат в одной

прямой, параллельны, лежат в одной

Прямые в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые

На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны друг дружке. А в пространстве вероятен очередной случай обоюдного расположения прямых.

Две прямые в пространстве параллельны друг дружке, пересекаются либо скрещиваются.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг дружке.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны прямой, параллельны, лежат в одной друг дружке. Через их нереально провести плоскость. Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

Определение. Две прямые именуются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из скрещивающихся прямых лежит в некой плоскости, а другая ровная пересекает эту плоскость в точке, не лежащей прямой, параллельны, лежат в одной на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

2. Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, дозволяющие установить, что два треугольника являются схожими без использования всех частей.

1-ый признак

Если два угла 1-го треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.


Другими словами

Дано: и

Обосновать:

Подтверждение

2-ой признак

Если угол 1-го треугольника равен прямой, параллельны, лежат в одной углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны подходящим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

3-ий признак

Если три стороны 1-го треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, = = .

Обосновать: ∆ABC ∆A1B1C1.

Билет №7

1. Если одна из 2-ух параллельных прямой, параллельны, лежат в одной прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

Чертеж 2.1.3

Подтверждение
Пусть a || b и a α = A (чертеж 2.1.3). Параллельные прямые a и b определяют некую плоскость β. Плоскости α и β имеют общую точку A, а, как следует, имеют и общую прямую c, проходящую через точку A по теореме 1.2. Через точку A можно прямой, параллельны, лежат в одной провести только одну прямую a, параллельную b. Как следует, c не параллельна b. Прямые b и c не параллельны и лежат в одной плоскости β, как следует, пересекаются в некой точке B. Ровная b имеет с плоскостью α общую точку B и не лежит в плоскости α (по другому по аксиоме 2.2 a прямой, параллельны, лежат в одной и b могли быть скрещивающимися). Как следует, ровная b пересекает плоскость α. Лемма подтверждена.

2. Доказанные в прошлом пт аксиомы дают возможность выразить площадь треугольника через три его стороны:
,
где , , — стороны треугольника и — его полупериметр. Эту формулу именуют формулой Герона. Подтверждение ее будем вести сразу для остроугольного и тупоугольного треугольников.

Формула Герона выражает прямой, параллельны, лежат в одной площадь треугольника через длины 3-х его сторон.

Аксиома (формула Герона). Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению:

Подтверждение. Пусть O - центр вписанной в треугольник ABC окружности, r - ее радиус

.

Соединив центр O с верхушками A, B и C, получим треугольники AOC, BOC и прямой, параллельны, лежат в одной AOB с высотами, равными r.

Согласно свойству площадей:
пл. треугольника ABC=пл. треугольника AOC+пл. треугольника AOB+пл. треугольника BOC=
= 1/2 b . r+1/2 c . r+1/2 a . r=r/2 (a+b+c)=p . r.

Выражая r через стороны треугольника a, b и с, получаем

Тогда ,
что и требовалось обосновать.

Билет №8

1. В большинстве школьных прямой, параллельны, лежат в одной учебников две прямые именуются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки. После этой определения доказывается аксиома о существовании и единственности прямой в пространстве, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Если считать параллельными и совпадающие прямые, то
огромное количество всех параллельных прямых прямой, параллельны, лежат в одной в пространстве можно разбить на непересекающиеся классы параллельных меж собой прямых, потому что праллельность прямых в пространстве есть отношение эквиалентности, а именно, производится транзитивность: если и , то .

Если же совпадающие прямые не считать параллельными, то верна такая аксиома (отличающаяся от того, что мы называем транзитивностью):

Если две разные прямые прямой, параллельны, лежат в одной параллельны третьей, то они параллельны меж собой.

Характеристики медиан

§ Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая именуется центроидом

, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от верхушки.

§ Треугольник делится 3-мя медианами на 6 равновеликих треугольников.

§ Большей стороне треугольника соответствует наименьшая медиана.

§ Из векторов, образующих медианы, можно составить прямой, параллельны, лежат в одной треугольник.

§ При аффинных преобразованиях медиана перебегает в медиану.

§ Медиана треугольника разделяет его на две равновеликие части.

Точку скрещения медиан треугольника именуют центром масс либо центром тяжести. Оказывается, если поместить в верхушки треугольника равные массы, то их центр попадет в эту точку. Центр равных масс время от времени именуют центроидом. В этой прямой, параллельны, лежат в одной же точке размещается и центр тяжести однородной треугольной пластинки. Если схожую пластинку поместить на булавку так, чтоб острие последней попало точно в центроид, то пластинка будет находиться в равновесии. Проделай этот опыт и удостоверься в справедливости данного утверждения.

Билет №9

1. Лучи ОА и О1А1 не лежат на одной

прямой прямой, параллельны, лежат в одной, параллельны, лежат в одной

полуплоскости с границей ОО1 →

Сонаправленные

Характеристики биссектрис

§ Аксиома о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника разделяет обратную сторону в отношении, равном отношению 2-ух прилежащих сторон

§ Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.

§ Биссектрисы 1-го внутреннего и 2-ух наружных углов треугольника пересекаются в прямой, параллельны, лежат в одной одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

§ Основания биссектрис 2-ух внутренних и 1-го наружного углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса наружного угла не параллельна обратной стороне треугольника.

§ Если биссектрисы наружных углов треугольника не параллельны обратным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, параллельны, лежат в одной прямой.

§ Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (аксиома Штейнера — Лемуса).

§ Построение треугольника по трем данным биссектрисам при помощи циркуля и линейки нереально,[2] причём даже при наличии трисектора.[3]

Окружность именуется вписанной в угол, если она лежит снутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на прямой, параллельны, лежат в одной биссектрисе этого угла.

Окружность именуется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит снутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Центр прямой, параллельны, лежат в одной O вписанной окружности именуется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой скрещения биссектрис треугольника.

Билет №10

1. Построение

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, именуют серединным перпендикуляром к отрезку.

Характеристики серединных перпендикуляров треугольника

1. Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Правильно и оборотное утверждение: любая прямой, параллельны, лежат в одной точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

2. Точка скрещения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Ортоцентр (от греч. ορθοξ — прямой) — точка скрещения высоттреугольника либо их продолжений. Обычно обозначается латинской буковкой H. Зависимо от вида треугольника ортоцентр может находиться снутри прямой, параллельны, лежат в одной треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) либо совпадать с верхушкой (в прямоугольных — совпадает с верхушкой при прямом угле).

§ Если в четвёрке точек A, B, C, D точка D является точкой скрещения высот треугольника ABC, то и неважно какая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного 3-мя прямой, параллельны, лежат в одной остальными точками. Такую четвёрку время от времени именуют ортоцентрической системой точек.

§ Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны.

§ Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности 9 точек (см. ровная Эйлера).

§ Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

§ Центр прямой, параллельны, лежат в одной описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с верхушками в серединах сторон данного треугольника.

§ Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

§ Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально обратными подходящим верхушкам.

§ Если О — центр описанной прямой, параллельны, лежат в одной окружности ΔABC, то ,

§ , где — радиус описанной окружности; — длины сторон треугольника.

§ Расстояние от верхушки треугольника до ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра описанной окружности до обратной стороны.

§ При изогональном сопряжении ортоцентр перебегает в центр описанной окружности.

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все верхушки многоугольника. Центром является точка прямой, параллельны, лежат в одной (принято обозначать ) скрещения серединных перпендикуляровк сторонам многоугольника.

Содержание [убрать] · 1 Характеристики o 1.1 Для треугольника § 1.1.1 Радиус § 1.1.2 Положение центра описанной окружности § 1.1.3 Уравнение описанной окружности o 1.2 Для четырехугольника o 1.3 Для многоугольника o 1.4 В сферическом треугольнике · 2 См. также · 3 Примечания · 4 Литература

[править]Свойства

§ Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке скрещения серединных прямой, параллельны, лежат в одной перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).

§ Около хоть какого правильногомногоугольника можно обрисовать окружность, и притом только одну.

[править]Для треугольника

Окружность, описанная около треугольника

§ Около треугольника можно обрисовать окружность, притом только прямой, параллельны, лежат в одной одну. Её центром будет являться точка скрещения серединных перпендикуляров.

§ У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит снутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

§

Остроугольный

§

Тупоугольный

§

Прямоугольный

Обозначаем буковкой О точку скрещения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Потому что точка О равноудалена от прямой, параллельны, лежат в одной вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Потому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три верхушки треугольника и, означает, является описанной около треугольника ABC.

§ 3 из 4 окружностей, обрисованных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке снутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного прямой, параллельны, лежат в одной треугольника.

§ Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с верхушками в серединах сторон данного треугольника.

§ Расстояние от верхушки треугольника до ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра описанной окружности до обратной стороны.

[править]Радиус

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Где:

— стороны треугольника,

— угол, лежащий против стороны прямой, параллельны, лежат в одной ,

— площадь треугольника.

— полупериметр треугольника.


psevdosluchajnij-kod-sputnikov-glonass.html
psevdotvorchestvo-v-reklame-referat.html
pshukovi.html